Question

【题目】如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F． 设∠AOD=θ ．
OE=2cosθ，DE=2sinθ．
可得CD=2OE=4cosθ，
∴梯形ABCD的面积S=
=4sinθ（1+cosθ），
S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）
令cosθ=t∈（0，1）．
则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．
则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．
可知：当且仅当t= 时，f（t）取得最大值： ．
因此S的最大值为： ．

【考点精析】本题主要考查了基本不等式的相关知识点，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：才能正确解答此题．