Question

已知方向向量为

V

=(1，

3

)的直线l过椭圆C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点以及点（0，-2

3

），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为4

6

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

≠0（O坐标原点），求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）l：y=

3

x-2

3

，直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周长为4

6

，知a=

6

，由此能求出椭圆方程．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

，由此能求出m的方程．

解答：解：（1）l：y=

3

x-2

3

，
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周长为4

6

，
则4a=4

6

，即a=

6

，
∴b=

6-4

=

2

，
故椭圆方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

，
∵

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

=

4 6 cos∠MON

3sin∠MON

=|

OM

|•|

ON

|cos∠MON≠0，
∴|

OM

|•|

ON

|sib∠MON=

4

3

6

，即S△OMN=

2

3

6

，
∵|MN|=

1+k2

•|x1-x2|=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，
原点O到m的距离d=

|2k|

1+k2

，
则S△OMN=

1

2

|MN|d=

2 6 (1+k2)

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

2

3

6

，
解得k=±

3

3

，
∴m的方程为y=±

3

3

(x+2)．

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．