Question

2．如图，函数y=f（x）是可导函数，曲线y=f（x）过点（2，3），且在x=2处的切线l在y轴上的截距为2，令g（x）=xf（x），则曲线y=g（x）在x=2处的切线方程是4x-y-2=0．

Answer 1

分析 先从图中求出切点，再求出直线l的斜率，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的运算法则，求出g′（2）的值，再由点斜式方程，即可得到所求切线方程．

解答 解：∵曲线y=f（x）过点（2，3），
∴f（2）=3，
又在x=2处的切线l在y轴上的截距为2，
∴切线的斜率为k=$\frac{3-2}{2-0}$=$\frac{1}{2}$，
即有f′（2）=$\frac{1}{2}$，
∵g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x），
则g′（2）=f（2）+2f′（2）=3+2×$\frac{1}{2}$=4，
曲线y=g（x）在x=2处的切线方程是y-6=4（x-2），
即为4x-y-2=0．
故答案为：4x-y-2=0．

点评 本题主要考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值为曲线的切线的斜率，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．