Question

已知函数f（x）=mx³-x．
（1）讨论单调区间；
（2）m=1时，求曲线f（x）在M（t，f（t））处的切线方程；
（3）m=1时，设a＞0，如果过点（a，b）时做曲线f（x）的三条切线，证明-a＜b＜f（a）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=3mx²-1，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；
（2）m=1时，f′（x）=3x²-1，从而可得f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，从而写出切线方程；
（3）结合（2）知，过点（a，b）的切线满足b=（3t²-1）a-2t³；从而化为方程2t³-3at²+a+b=0有三个不同的实数根，从而由数形结合的思想求解．

解答： 解：（1）f′（x）=3mx²-1，
①当m≤0时，f′（x）=3mx²-1＜0恒成立，
故函数f（x）=mx³-x在R上是减函数；
②当m＞0时，
当x∈（-∞，-

3m

3m

）∪（

3m

3m

，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-

3m

3m

，

3m

3m

）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（-∞，-

3m

3m

），（

3m

3m

，+∞）；
单调减区间为（-

3m

3m

，

3m

3m

）；
（2）m=1时，
f′（x）=3x²-1，
f′（t）=3t²-1，f（t）=t³-t，
故切线方程为y-（t³-t）=（3t²-1）（x-t）；
化简得，y=（3t²-1）x-2t³；
（3）证明：由（2）知，过点（a，b）的切线满足
b=（3t²-1）a-2t³；
即方程2t³-3at²+a+b=0有三个不同的实数根，
记g（t）=2t³-3at²+a+b，
则g（t）=6t²-6at=6t（t-a），
故g（t）在t=0处有极大值a+b；在t=a处有极小值b-f（a）；
故由题意可得，
b-f（a）＜0＜a+b；
即-a＜b＜f（a）．

点评：本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用，属于中档题．