Question

【题目】函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（ ）
A.（2，+∞）
B.（1，+∞）
C.（ ，+∞）
D.（ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；

①当1﹣2k≤0时，解得k≥ ；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，

即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；

∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，

∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；

∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，

∴不等式对一切实数都成立，∴k≥ ；

②当1﹣2k＞0时，解得k＜ ；

存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，

即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；

∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，

∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得 ＜k＜1；

又∵k＜ ，∴ ＜k＜ ；

综上，k∈（ ， ）∪[ ，+∞）=（ +∞）；

∴k的取值范围是k∈（ ，+∞）．

故选：D．

根据题意x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；讨论①1﹣2k≤0时和②1﹣2k＞0时，存在x∈[1，+∞），使f（x﹣2k）﹣k＜0时k的取值范围即可．