Question

已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）求数列{a_n}的前n项和S．

Answer 1

解：（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
，可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴数列{a_n+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=
=2ⁿ⁺¹-n-2．
分析：（1）利用数列的递推关系式，通过n=4，求出a₃，类似求出a₁，a₂，
（2）通过递推关系式，推出数列{a_n+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，然后求数列{a_n}的通项公式．
（3）写出数列{a_n}的前n项和的表达式．利用拆项法，通过等比数列求和求解即可．
点评：本题考查数列的递推关系式与数列通项公式，前n项和的应用，考查计算能力．