Question

设a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，+∞）时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=x²+2|lnx-1|，利用零点分段法，我们可将函数化为分段函数的形式，进而根据分段函数分段处理的原则，分别求出当x＞e时，和当0＜x＜e时，导函数的解析式，利用导数法，即可求出f（x）的单调区间；
（2）类比（1），利用导数法，我们可以判断出f（x）在（e，+∞）单增，f（x）在(

a 2

，+∞)单增，f（x）在(0，

a 2

)单减，进而根据分段函数最值的求法，可得当

a 2

≥e⇒a≥2e2时，f_min（x）=f（e）=e²，当1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2时，fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，当

a 2

≤1⇒0＜a≤2时，f_min（x）=f（1）=1+a．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=

x2+2lnx-2，x≥e x2-2lnx+2，0＜x＜e

当x＞e时，f′(x)=2x+

2

x

=

2x2+2

x

＞0恒成立，
当0＜x＜e时，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
令f′（x）＞0得1＜x＜e
又

lim

x→e-

f(x)=

lim

x→e+

f(x)=f(e)=e2，
故f（x）在x=e处连续，
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）当x＞e时，f′(x)=2x+

a

x

＞0，故f（x）在（e，+∞）单增
当0＜x＜e时，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
令f′(x)=

2x2-a

x

＞0⇒x＞

a 2

则f（x）在(

a 2

，+∞)单增，
f（x）在(0，

a 2

)单减．
又f（x）在x=e处连续．
故，当

a 2

≥e⇒a≥2e2时，
f_min（x）=f（e）=e²
当1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2时，
fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

当

a 2

≤1⇒0＜a≤2时，
f_min（x）=f（1）=1+a

点评：本题考查的知识点是函数的单调性及单调区间，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中利用零点分段法，将函数的解析式化为分段函数的形式，是解答本题的关键，另外解答时要注意函数的定义域为（0，+∞），以免产生错误．