Question

6．设集合X是实数集R的子集，如果x₀∈R，满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，则称x₀为集合X的聚点，现有如下四个集合：
①$\{\frac{2n+1}{n}|n∈Z，n≥2\}$②{x∈R|x≠1}③$\{\frac{n-1}{n}|n∈Z，n≥1\}$④整数集Z；
其中以1为聚点的集合是（　　）

• A． ②③
• B． ①④
• C． ①③
• D． ①②④

Answer 1

分析 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

解答 解：①$\{\frac{2n+1}{n}|n∈Z，n≥2\}$中的元素构成以2为极限的数列，不符合题意；
②{x∈R|x≠1}，满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x-1|＜a，故此集合以1为聚点；
③{$\frac{n-1}{n}$|n∈Z，n≥1}中的元素构成以1为极限的数列，故对?a＞0，?x满足：对任意a＞0，都存在x∈{$\frac{n-1}{n}$|n∈Z，n≥1}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1为聚点．
④整数集Z中的元素是整数，故对?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-1|＜a成立，∴1不是集合Z的聚点；
故选：A．

点评 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键，属于中档题．