Question

某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据资料统计，销售收入R（万元）与报纸广告费用x₁（万元）及电视广告费用x₂（万元）之间的关系有如下经验公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的广告费总共为5万元，求最优广告策略（即收益最大的策略，其中收益=销售收入-广告费用）；
（2）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略．

Answer 1

解：设收益为y，则y=R-x₁-x₂，
（1）∵x₁+x₂=5，故x₂=5-x₁∈（0，5），
又x₁∈（0，5），∴x₁∈（0，5）
∴y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28-x₁-x₂
将x₂=5-x₁代入上式得
y=-3x₁²+12x₁-3=-3（x₁-2）²+9
当x₁=2时，最大收益为9
由上知，当x₁=2，x₂=3时，收益最大是9万元
（2）若广告费用不受限制，由（1）知
y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+12x₁+10x₂-28
=-2（x₁-3）²-（x₂-5）²+15
故当x₁=3，x₂=5时收益最大为15万元．
分析：设收益为y，则y=R-x₁-x₂，对（1）因为广告费总共为五万元，故x₁+x₂=5，由此可以把收益转化为关于x₁的函数，再利用相关函数的性质选取求最值的方法，求最值即可．
点评：考查根据实际问题建立函数，用配方法求一元二次函数的最值．