Question

已知数列A：a₁，a₂，…，a_n（n≥3），令T_A={x|x=ai+aj.1≤i＜j≤n}，car（T_A）表示集合T_A中元索的个数．
①若A：2，4，8，16，则card（T_A）=

6

；
②若a_i+1-a_i=c（c为非零常数．1≤i≤n-1），则card（T_A）=

2n-3

．

Answer 1

分析：对于①若A={2，4，8，16}，直接计算出T_A={6，10，18，12，20，24}，即可得出答案；
②若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数），说明数列a₁，a₂，…，a_n，构成等差数列，利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得card（T_A）=2n-3．

解答：解：①若A={2，4，8，16}，
则T_A={6，10，18，12，20，24}，
∴card（T_A）=6；
②若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数），说明数列a₁，a₂，…，a_n，构成等差数列，
取特殊的等差数列进行计算，
取A={1，2，3，…，n}，则T_A={3，4，5，…，2n-1}，
由于（2n-1）-3+1=2n-3，
∴T_A中共2n-3个元素，
利用类比推理可得
若a_i+1-a_i=c（ 1≤i≤n-1，c为非零常数），则card（T_A）=2n-3．
故答案为：6；2n-3．

点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．