Question

已知函数f（x）=x²，x∈[-2，2]和函数g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若对?x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使f（x₁）=g（x₀）成立，则实数a的取值范围是

a≥2.5或a≤-2.5

．

Answer 1

分析：根据对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，然后利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围即可．

解答：解：①若a=0，g（x）=-1，对于任意 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]，不存在x₀∈[-2，2]，使g（x₀）=f（x₁）
②当a＞0时，g（x）=ax-1在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-1，2a-1]
任给 x₁∈[-2，2]，f（x₁）∈[0，4]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
则 [0，4]⊆[-2a-1，2a-1]∴

-2a-1≤0 2a-1≥4

，∴a≥

5

2

③a＜0，g（x）=ax-1在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-1，-2a-1]
∴

2a-1≤0 -2a-1≥4

，∴a≤-

5

2

综上，实数a的取值范围是a≥2.5或a≤-2.5．
故答案为：a≥2.5或a≤-2.5

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．