Question

例4．已知数列{a_n}中，a₁=3，对于nN，以a_n，a_n+1为系数的一元二次方程a_nx²-2 a_n+1x+1=0
都有根α、β且满足（α-1）（β-1）=2．
（1）求证数列是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据韦达定理可知α+β=，αβ=，代入（α-1）（β-1）=2中整理得a_n-=-2（a_n+1-），进而可判定数列是等比数列．
（2）由（1）可求得数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而求得a_n．
解答：解：（1）证明：依题意可知α+β=，αβ=
∴（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=-+1=2
整理得a_n-=-2（a_n+1-），a₁-=
∴数列是以为首项，-为公比的等比数列．
（2）由（1）知a_n-=×（-）^n-1，
∴a_n=×（-）^n-1+．
点评：本题主要考查了等比数列的性质和等比关系的确定．考查了学生对等比数列的定义和通项公式的理解和把握．