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    （2012•枣庄二模）已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    的左顶点为A，右焦点为F，且过点（1，
    3
    2
    ），椭圆C的焦点与曲线2
    x
    2
     
    -2
    y
    2
     
    =1    的焦点重合．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）过点F任作椭圆C的一条弦PQ，直线AP、AQ分别交直线x=4于M、N两点，点M、N的纵坐标分别为m、n．请问以线段MN为直径的圆是否经过x轴上的定点？若存在，求出定点的坐标，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
    （3）在（2）问的条件下，求以线段MN为直径的圆的面积的最小值．
    分析：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
    3
    2
    ），由椭圆的定义，可得a的值，从而可求椭圆C的方程；
    （2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0），分类讨论：①当PQ⊥x轴时，以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9，可得以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；②当直线PQ与x轴不垂直时，可得以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
    m+n
    2
    ）2=(
    m-n
    2
    )2    ，验证（1，0），（7，0）在圆上；
    （3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），故可得线段MN为直径的圆的半径的最小值，从而可得结论．
    解答：解：（1）由题意，椭圆C的焦点为（-1，0），（1，0），且过点（1，
    3
    2
    ），
    由椭圆的定义，可得2a=4，∴a=2
    ∴b2=a2-1=3
    ∴椭圆C的方程为
    x
    2
     
    4
    +
    y
    2
     
    3
    =1    ；
    （2）假设以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点，由（1）知F（1，0）
    ①当PQ⊥x轴时，P，Q的横坐标均为1，将x=1代入椭圆方程可得y=±
    3
    2

    不妨令P（1，
    3
    2
    ），Q（1，-
    3
    2
    ）
    由A，P，M三点共线，得
    m-0
    4-(-2)
    =
    3
    2
    -0
    1-(-2)
    ，∴m=3
    同理可得n=-3
    ∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+y2=9
    令y=0，可得x=1或x=7
    ∴以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
    ②当直线PQ与x轴不垂直时，∵A（-2，0），M（4，m），∴kAM=
    m-0
    4-(-2)
    =
    m
    6

    ∴直线AM的方程为y=
    m
    6
    (x+2)
    代入椭圆方程，整理可得（27+m2）x2+4m2x+4m2-108=0
    设P（x1，y1），Q（x2，y2），则-2与x1是上述方程的两个实根
    ∴-2x1=
    4m2-108
    27+m2
    ，∴x1=
    54-2m2
    27+m2
    ，∴y1=
    18m
    27+m2

    ∴P（
    54-2m2
    27+m2
    ，
    18m
    27+m2
    ）
    同理可得Q（
    54-2n2
    27+n2
    ，
    18n
    27+n2
    ）
    ∴kFP=
    y1
    x1-1
    =
    6m
    9-m2
    ，kFQ=
    y2
    x2-1
    =
    6n
    9-n2

    ∵P，F，Q三点共线，∴
    6m
    9-m2
    =
    6n
    9-n2

    ∴（m-n）（9+mn）=0
    ∵m≠n，∴9+mn=0，∴mn=-9
    ∴以线段MN为直径的圆的方程为（x-4）2+（y-
    m+n
    2
    ）2=(
    m-n
    2
    )2
    将（1，0）代入上式的坐标，可得（1-4）2+（0-
    m+n
    2
    ）2=-mn++（
    m+n
    2
    ）2=(
    m-n
    2
    )2
    ∴以线段MN为直径的圆的方程经过点（1，0）
    同理（7，0）也在圆上，
    综上，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0）；
    （3）由（2）知，以线段MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0），（7，0），
    故以线段MN为直径的圆的半径的最小值为
    7-1
    2
    =3
    ∴以线段MN为直径的圆的面积的最小值为9π．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查恒过定点问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强．
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    -
    		2
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    		2
    10
    ．

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    		2
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    y
    2
     
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    2
    2
    ．

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