Question

定义域为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)．求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：令x∈（-1，0），则-x∈（0，1），根据奇函数f（x）满足当x∈（0，1）时f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)，可求出此时函数的解析式，再由f（x）=f（x-2），求出f（-1）=f（1）=0，可得函数f（x）的解析式．

解答：解：当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∵当x∈（0，1）时f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)得．
则  f(-x)=

a-x

a-2x+1

=

ax

a2x+1

，
又f（x）为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数
则f(x)=-

ax

a2x+1

∵f（-1）=-f（1），f（x）=f（x-2）
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）
∴f（-1）=f（1）=0则
函数的解析式为  f(x)=

ax a2x+1 0＜x＜1 0x=±1 - ax a2x+1 -1＜x＜0

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义及周期性的定义是解答的关键．