Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-mx²+nx（m，n∈R）．
（1）若f′（0）=f′（2）=1，求函数f（x）的解析式；
（2）设f′（m-1）=0，且f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=x²-2mx+n，从而可得n=4-4m+n=1，从而求函数f（x）的解析式；
（2）由f′（m-1）=（m-1）²-2m（m-1）+n=0可得n=m²-1；从而可得f′（x）=x²-2mx+m²-1=[x-（m-1）][x-（m+1）]，从而化为恒成立问题．

解答： 解：（1）由题意，f′（x）=x²-2mx+n，
则由f′（0）=f′（2）=1可得，
n=4-4m+n=1，
解得，m=1，n=1；
故函数f（x）的解析式为
f（x）=

1

3

x³-x²+x；
（2）∵f′（x）=x²-2mx+n，
∴f′（m-1）=（m-1）²-2m（m-1）+n=0，
故n=m²-1；
故f′（x）=x²-2mx+m²-1=[x-（m-1）][x-（m+1）]，
∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，
∴m-1≥1或m+1≤0；
故m≥2或m≤-1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．