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已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.

 (1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,

∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,作出函数y=m2-2m-3的图象(图略)观察图象知-1<m<3.又m∈Z,∴m=0,1,2,而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数.

∴f(x)=x4.

(2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).

∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立,

∴g(x)min>2,且x∈R,则c-1>2,解得c>3.

故实数c的取值范围是(3,+∞).

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