Question

已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

 (1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，

∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．

∴f(x)＝x4.

(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．

∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，

∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.

故实数c的取值范围是(3，＋∞)．