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定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.
举例:f(x)=x,D=[-3,2],则对任意x∈D,|f(x)|≤3,根据上述定义,f(x)=x在[-3,2]上为有界函数,上界可取3,5等等.
已知函数f(x)=1+a•2x+4x,g(x)=
1-2x1+2x

(1)当a=1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的值域,并判断函数f(x)在(0,+∞)上是否为有界函数,请说明理由;
(2)求函数g(x)在[0,1]上的上界T的取值范围;
(3)若函数f(x)在(-∞,0]上是以3为上界的函数,求实数a的取值范围.
分析:(1)设t=2x,则t∈(1,+∞),求关于t的函数y=t2+t+1的值域,从而可判断函数是否为有界函数;
(2)设t=2x,则t∈[1,2],求关于t的函数y=
1-t
1+t
的值域,根据|f(x)|≤T恒成立,求出T的范围;
(3)设t=2x,则t∈(0,1],不等式|f(x)|≤3恒成立?|1+at+t2|≤3,分类讨论求a的范围.
解答:解:(1)当a=1时,f(x)=1+2x+4x
设t=2x,x∈(0,+∞),∴t∈(1,+∞),
y=t2+t+1,值域为(3,+∞),
不存在正数M,使x∈(0,+∞)时,|f(x)|≤M成立,
即函数在x∈(0,+∞)上不是有界函数.
(2)设t=2x,t∈[1,2],
y=
1-t
1+t
=
2
1+t
-1
在t∈[1,2]上是减函数,值域为[
1
3
,0],
要使|f(x)|≤T恒成立,即:T≥
1
3

(3)由已知x∈(-∞,0]时,不等式|f(x)|≤3恒成立,即:|1+a×2x+4x|≤3,
设t=2x,t∈(0,1],不等式化为|1+at+t2|≤3,
当0<
a
2
≤1即:-2≤a<0时,1-
1
4
a2≥-3且2+a≤3,得:-2≤a<0;
当-
a
2
≤0或-
a
2
≥1即:a≥0或a≤-2时,-3≤2+a≤3,得-5≤a≤-2或0≤a≤1,
综上,-5≤a≤1.
点评:本题考查了与函数性质有关的新定义问题,考查了换元法求函数的值域,综合性强,涉及知识面广,难度较大.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.
已知函数f(x)=1+a•(
1
2
x+(
1
4
x;g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)值域并说明函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数?
(Ⅱ)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.

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定义在D上的函数f(x),如果满足对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界,已知函数f(x)=1+x+ax2
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[1,4]上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x
; g(x)=
1-m•x2
1+m•x2

(1)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的取值范围;
(2)已知m>-1,函数g(x)在[0,1]上的上界是T(m),求T(m)的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于定义在D上的函数f(x),若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2,使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立,则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道.给出下列函数:①f(x)=
1
x
,②f(x)=sinx,③f(x)=
x2-1
,其中在区间[1,+∞)上通道宽度可以为1的函数有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

如右图所示,定义在D上的函数f(x),如果满足:对?x∈D,常数A,都有f(x)≥A成立,则称函数f(x)在D上有下界,其中A称为函数的下界.(提示:图中的常数A可以是正数,也可以是负数或零)
(1)试判断函数f(x)=x3+
48
x
在(0,+∞)上是否有下界?并说明理由;
(2)已知某质点的运动方程为S(t)=at-2
t+1
,要使在t∈[0,+∞)上的每一时刻该质点的瞬时速度是以A=
1
2
为下界的函数,求实数a的取值范围.

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