Question

13．（理科）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是AC的中点，E是线段D₁O上一点，且$\frac{{D}_{1}E}{EO}$=λ．
（1）若λ=$\frac{5}{6}$，求异面直线DE与CD₁所成角的余弦值；
（2）若二面角D₁-CE-D为$\frac{2}{3}$π，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD₁所成角的余弦值．
（2）求出平面CD₁E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果．

解答 解：（1）设正方体的棱长为1，
分别以DA、DC、DD₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），O（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），
D（0，0，0），
设E（x₀，y₀，z₀），∵$\frac{{D}_{1}E}{EO}$=$\frac{5}{6}$，∴$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=$\frac{5}{6}$$\overrightarrow{EO}$，
∴（x₀，y₀，z₀-1）=$\frac{5}{6}$（$\frac{1}{2}-{x}_{0}$，$\frac{1}{2}-{x}_{0}$，-x₀），
解得x₀=$\frac{5}{22}$，y₀=$\frac{5}{22}$，z₀=$\frac{6}{11}$，
E（$\frac{5}{22}$，$\frac{5}{22}$，$\frac{6}{11}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{5}{22}$，$\frac{5}{22}$，$\frac{6}{11}$），CD₁=（0，-1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{7\sqrt{97}}{194}$，
∴异面直线DE与CD₁所成角的余弦值为$\frac{7\sqrt{97}}{194}$．
（2）设平面CD₁E的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{CO}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CO}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{D}_{1}}=-y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{EO}$，得E（$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{1}{1+λ}$），$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{λ}{2（1+λ）}$，$\frac{1}{1+λ}$），
设平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\frac{λ}{2（1+λ）}x+\frac{λ}{2（1+λ）}y+\frac{1}{1+λ}z=0}\end{array}\right.$，取x=-2，得$\overrightarrow{n}$=（-2，0，λ），
∵二面角D₁-CE-D为$\frac{2}{3}$π，
∴|cos$\frac{2π}{3}$|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|λ-2|}{\sqrt{3}•\sqrt{{λ}^{2}+4}}$，
解得λ=8-2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要 认真审题，注意向量法的合理运用．