Question

已知复数z=a+bi（a，b为正实数，i是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的一个根，复数w=（z-ti）²（t∈R）对应的点在第二象限，则实数t的取值范围．

Answer 1

分析：依题意，将z=a+bi代入方程x²-4x+5=0可求得正实数a，b的值，从而可得复数z=a+bi，分析复数w=（z-ti）²（t∈R）对应的点在第二象限，即可求得实数t的取值范围．

解答：解：∵复数z=a+bi（a，b为正实数，i是虚数单位）是方程x²-4x+5=0的一个根，
∴z²-4z+5=0，
即a²-b²+2abi-4a-4bi+5=0，
∴

a2-b2-4a+5=0 2ab-4b=0

，即

(a-2)2+1-b2=0 b(a-2)=0

，
∵b＞0，
∴a=2，b=1，
∴z=2+i，
∴w=（z-ti）²=[2+（1-t）i]²=4-（1-t）²+4（1-t）i，
∵复数w=（z-ti）²（t∈R）对应的点在第二象限，
∴

4-(1-t)2＜0 4(1-t)＞0

，解得t＜-1．
∴实数t的取值范围是（-∞，-1）．

点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的应用，属于中档题．