解:(1)因为a
1,a
3,a
15成等比数列,所以a
32=a
1a
15,即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37395.png)
由a∈N
+可得a=9(5分)
(2)若存在k(k≥3且k∈N),,使得a
1,a
2,a
k成等差数列,则有a
1+a
k=2a
2,
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37396.png)
,得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37397.png)
,k(k≥3且k∈N)
∴a=1或a=2(8分)
故存在k=5或k=4,使得a
1,a
2,a
k成等差数列
且k=5时,a=1,k=4时,a=2.(11分)
(3)∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37398.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37399.png)
(13分)
a
2n+a与a
2n是数列{a
n}的不同于a
n的两项,
所以数列中的任意一项a
n总可以表示成数列中其它两项之积.(16分)
分析:(1)由a
1,a
3,a
15成等比数列可得代入通项公式可求a的值
(2)假设存在k(k≥3且k∈N),使得a
1,a
2,a
k成等差数列,则有a
1+a
k=2a
2,代入通项公式进行计算
(3)由于
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37398.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/37400.png)
,故可求
点评:本题主要考查了等差数列与等比数列的综合运算,数列通项公式的应用,考查了考生的逻辑推理与运算的能力.