Question

20．（1）已知不等式ax²+bx-1＞0解集为{x|3＜x＜4}，解关于x的不等式$\frac{bx-1}{ax-1}≥0$；
（2）已知函数$f（x）=x+\frac{16}{x-2}，x≠2$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系进行转化求解即可．
（2）根据基本不等式的性质进行转化求解．

解答 解：（1）∵不等式ax²+bx-1＞0解集为{x|3＜x＜4}，
∴3，4是对应方程ax²+bx-1=0的两根，且a＜0，
则3×4=-$\frac{1}{a}$=12，即a=-$\frac{1}{12}$，
3+4=-$\frac{b}{a}$=12a=7，
则b=$\frac{7}{12}$，则不等式式$\frac{bx-1}{ax-1}≥0$等价为$\frac{\frac{7}{12}x-1}{-\frac{1}{12}x-1}$≥0，
即$\frac{7x-12}{-x-12}$≥0，
得-12＜x≤$\frac{12}{7}$，即不等式的解集为（-12，$\frac{12}{7}$]．
（2）f（x）=x+$\frac{16}{x-2}$=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2，
若x＞2，则x-2＞0，则f（x）=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2≥2+2$\sqrt{（x-2）•\frac{16}{x-2}}$=2+8=10，当且仅当x-2=$\frac{16}{x-2}$，即（x-2）²=16，x-2=4，x=6时取等号，
若x＜2，则x-2＜0，则f（x）=x-2+$\frac{16}{x-2}$+2≤2-2$\sqrt{（2-x）•\frac{16}{2-x}}$$\sqrt{（x-2）•\frac{16}{x-2}}$=2-8=-6，当且仅当-（x-2）=-$\frac{16}{x-2}$，即（x-2）²=16，x-2=-4，x=-2时取等号，
综上f（x）≥10或f（x）≤-6，
即函数的值域为（-∞，-6]∪[10，+∞）．

点评 本题主要考查一元二次不等式，分式不等式以及基本不等式的应用和求解，利用不等式和方程之间的关系进行转化是解决本题的关键．