Question

13．P（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{x≤4}\\{y≤3}\end{array}\right.$，则x²+y²的取值范围是[8，25]．

Answer 1

分析 作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$对应的平面区域，利用x²+y²的几何意义求最值．

解答 解：设z=x²+y²，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y≥4\\ x≤4\\ y≤3\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
由图象可知点A（4，3）到原点的距离最大，最大值为：25．
原点到直线x+y-4=0的距离最小，d=$\frac{4}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$
所以z=x²+y²的最小值为z=8．
x²+y²的取值范围是[8，25]．
故答案为：[8，25]．

点评 本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．