Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值为M．
（1）若b=2，试求出M；
（2）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当b=2时，f（x）=﹣x2+2bx+c在区间[﹣1，1]上是增函数，

则M是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，

又g（﹣1）=|﹣5+c|，g（1）=|3+c|，

则 ；

（2）解：g（x）=|f（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c|，

（i）当|b|＞1时，y=g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，

则M=max{g（﹣1），g（1）}，

而g（﹣1）=|﹣1﹣2b+c|，g（1）=|﹣1+2b+c|，

则2M≥g（﹣1）+g（1）≥|f（﹣1）﹣f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．

（ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1，1]之内，

此时M=max{g（﹣1），g（1），g（b）}，

又g（b）=|b2+c|，

①当﹣1≤b≤0时，有f（1）≤f（﹣1）≤f（b），

则M=max{g（b），g（1）} （g（b）+g（1）） |f（b）﹣f（1）|= ；

②当0＜b≤1时，有f（﹣1）≤f（1）≤f（b）．

则M=max{g（b），g（﹣1）} （g（b）+g（﹣1）） |f（b）﹣f（﹣1）|= ．

综上可知，对任意的b、c都有 ．

而当b=0， 时， 在区间[﹣1，1]上的最大值 ，

故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为

【解析】（1）把b=2代入函数解析式，由函数在区间[﹣1，1]上是增函数得到M是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，由此根据c的范围试求出M；（2）把函数g（x）配方，然后分|b|＞1时，|b|≤1时由函数y=g（x）的单调性求出其最大值，又g（b）=|b2+c|，再分当﹣1≤b≤0时和0＜b≤1时，求出最大值M，经比较可知对任意的b、c都有 ．再求出当b=0， 时g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值 ，由此可得M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为 ．
【考点精析】掌握二次函数在闭区间上的最值是解答本题的根本，需要知道当时，当时，；当时在上递减，当时，．