Question

【题目】如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD，

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知，BF∥CE，

所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．

设P为AD的中点，连接EP，PC．

因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．

又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．

而PC，AD都在平面ABCD内，

故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，

则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC= ，故∠CED=60°．

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（2）解：证明：因为DC=DE且M为CE的中点，

所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M，

故CE⊥平面AMD．而CE平面CDE，

所以平面AMD⊥平面CDE．

（3）解：解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ．

因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，

所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角．

可得， ．

【解析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE；（3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．