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(2008•江苏二模)如图,AB是沿太湖南北方向道路,P为太湖中观光岛屿,Q为停车场,PQ=5.2km.某旅游团游览完岛屿后,乘游船回停车场Q,已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶,sinθ=
5
13
.游船离开观光岛屿3分钟后,因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖滨大道M处,然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车).假设游客甲乘小船行驶的方位角是α,出租汽车的速度为66km/h.
(Ⅰ)设sinα=
4
5
,问小船的速度为多少km/h时,游客甲才能和游船同时到达点Q;
(Ⅱ)设小船速度为10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角α,当角α余弦值的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达Q.
分析:(I)作PN⊥AB,N为垂足,由sinθ=
5
13
sinα=
4
5
,解Rt△PNQ和Rt△PNM,得到PQ和PM及MQ的长,构造方程可得满足条件的船速
(II)当小船行驶的方位角为α时,解三角形分别求出PM,MQ长,进而求出时间t的解析式,利用导数法,求出函数的最小值,可得答案.
解答:解:(Ⅰ) 如图,作PN⊥AB,N为垂足.
sinθ=
5
13
sinα=
4
5

在Rt△PNQ中,PN=PQsinθ=5.2×
5
13
=2
(km),
QN=PQcosθ=5.2×
12
13
=4.8
(km).
在Rt△PNM中,MN=
PN
tanα
=
2
4
3
=1.5
(km).…(3分)
设游船从P到Q所用时间为t1h,游客甲从P经M到Q所用时间为t2h,
小船的速度为v1km/h,则t1=
PQ
13
=
26
5
13
=
2
5
(h),t2=
PM
v1
+
MQ
66
=
2.5
v1
+
3.3
66
=
5
2v1
+
1
20
(h).  …(5分)
由已知得:t2+
1
20
=t1
5
2v1
+
1
20
+
1
20
=
2
5

v1=
25
3
.…(7分)
∴小船的速度为
25
3
km/h时,游客甲才能和游船同时到达Q.
(Ⅱ)在Rt△PMN中,PM=
PN
sinα
=
2
sinα
(km),
MN=
PN
tanα
=
2cosα
sinα
(km).
QM=QN-MN=4.8-
2cosα
sinα
(km).               …(9分)
t=
PM
10
+
QM
66
=
1
5sinα
+
4
55
-
cosα
33sinα
=
1
165
×
33-5cosα
sinα
+
4
55
.…(11分)
t′=
1
165
×
5sin2α-(33-5cosα)cosα
sin2α
=
5-33cosα
165sin2α
,…(13分)
∴令t'=0得:cosα=
5
33

cosα<
5
33
时,t'>0;当cosα>
5
33
时,t'<0.
∵cosα在α∈(0,
π
2
)
上是减函数,
∴当方位角α满足cosα=
5
33
时,t最小,
即游客甲能按计划以最短时间到达Q.…(15分)
点评:本题考查的知识点是函数模型的选择与应用,根据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键.
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5
2
5
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