Question

一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

2

5

；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

7

9

．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

7

10

．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

分析：（I）首先根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是

7

9

，列出关系式，得到白球的个数，从袋中任意摸出3个球，白球的个数为ξ，根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望．
（II）设出两种球的个数，根据从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于

7

10

，得到两个未知数之间的关系，得到白球的个数比黑球多，白球个数多于

2

5

n，红球的个数少于

n

5

，得到袋中红球个数最少．

解答：解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则P(A)=1-

C 2 10-x

C 2 10

=

7

9

，
得到x=5．
故白球有5个．
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
∴分布列是

∴ξ的数学期望Eξ=

1

12

×0+

5

12

×1+

5

12

×2+

1

12

×3=

3

2

．
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得y=

2

5

n，
∴2y＜n，2y≤n-1，
故

y

n-1

≤

1

2

．
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P(B)=

2

5

+

3

5

×

y

n-1

≤

2

5

+

3

5

×

1

2

=

7

10

．
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于

2

5

n，红球的个数少于

n

5

．
故袋中红球个数最少．

点评：本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．