Question

已知x，y，z是实数，x+2y+3z=1，则x²+2y²+3z²的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：选作题,不等式

分析：利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（x+2y+3z）²≤（x²+2y²+3z²）（1²+1²+1²）进行解题即可．

解答： 解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+2y²+3z²）（1²+1²+1²）
故x²+2y²+3z²≥

1

3

，即：x²+2y²+3z²的最小值为

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+3z）²≤（x²+2y²+3z²）（1²+1²+1²）进行解决．