Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与圆C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（1）当b=1时，求k的值；
（2）求关于b和k的二元方程；
（3）求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标，由直径所对的圆周角为直角可知当直线l经过圆心时有MP⊥MQ，把圆心坐标代入直线方程求得k的值；
（2）设出P，Q的坐标，联立圆与直线方程，由根与系数关系得到P，Q点的横坐标的和与积，代入k_MP•k_mq=-1整理得答案；
（3）将（2）中关于b、k的二元方程看作关于b的一元二次方程，k为参数，由判别式大于等于0求解k的最小值．

解答：解：（1）圆C：x²+y²-2x-2y+1=0可化为（x-1）²+（y-1）²=1，
当b=1时，点M（0，b）在圆C上，
当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ，
∵圆心C的坐标为（1，1），代入y=kx，
∴k=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
得（1+k²）x²+2（k+1）x+1=0．
则x1+x2=-

2(k+1)

k2+1

，x1x2=

1

1+k2

．
∵MP⊥MQ，
∴kMP•kMQ=

y1-b

x1

•

y2-b

x2

=-1．
∵y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴-1=

y1-b

x1

•

y2-b

x2

=

(kx1-b)(kx2-b)

x1x2

=

k2x1x2-kb(x1+x2)+b2

x1x2

=k2-kb

x1+x2

x1x2

+

b2

x1x2

=k²-2kb（k+1）+b²（k²+1）．
化简得：b2-

2k(k+1)

k2+1

b+1=0；
（3）将（2）中关于b、k的二元方程看作关于b的一元二次方程，k为参数
∵b有实数解，
∴△=(

2k(k+1)

k2+1

)2-4≥0，
解得：k≥1．
∴k的最小值为1．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系，训练了“设而不求”的解题思想方法，解答的关键是充分利用MP与MQ的垂直关系，是中档题．