Question

9．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且5sin$\frac{c}{2}$=cosC+2．
（1）求tan（A+B）的值；
（2）若$\frac{tanA}{tanB}$+1=$\frac{4c}{\sqrt{3}b}$，c=2．求a．

Answer 1

分析 （1）把cosC=1-2sin²$\frac{C}{2}$代入条件解出C，于是tan（A+B）=-tanC；
（2）将切化弦化简整理可求得cosA，进而求得sinA，最后使用正弦定理求出a．

解答 解：（1）∵5sin$\frac{c}{2}$=cosC+2，∴5sin$\frac{c}{2}$=1-2sin²$\frac{C}{2}$+2，解得sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$或-3（舍）．
∵0＜$\frac{C}{2}$$＜\frac{π}{2}$∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{3}$．∴tan（A+B）=-tanC=-$\sqrt{3}$．
（2）∵$\frac{tanA}{tanB}$+1=$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{c}{bcosA}$=$\frac{4c}{\sqrt{3}b}$．
∴$\frac{1}{cosA}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{39}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数的关系，属于中档题．