Question

已知双曲线

x2

4

-

y2

b2

=1（b∈N^*） 的两个焦点为F₁、F₂，P是双曲线上的一点，且满足|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|²，|PF₂|＜4，
（I）求b的值；
（II）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析：（I）利用双曲线的方程得到a，利用双曲线的定义得到，||PF₁|-|PF₂||=4，将它与已知等式联立得到关于|PF₂|的方程
由于|PF₂|＜4，所以该方程在（0，4）上有解，得到c的范围从而得到b的范围，据b是自然数，求出b的值．
（II）求出抛物线方程与直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，解方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长|AB|．

解答：解（I）根据题意a²=4，即a=2，
又，a²+b²=c²，||PF₁|-|PF₂||=2a=4，
又|PF₁|•|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²，|PF₂|＜4，得
|PF₂|²+4|PF₂|-4c²=0在区间（0，4）上有解，即4c²=|PF₂|²+4|PF₂|有解
又|PF₂|＜4，故|PF₂|²+4|PF₂|＜32
所以c²＜8
因此b²＜4，又b∈N^*，
所以b=1
（II）双曲线方程为

x2

4

-y2=1，
右顶点坐标为（2，0），即F（2，0）
所以抛物线方程为y²=8x （1）
直线方程为y=x-2 （2）
由（1）（2）两式联立

y2=8x y=x-2

，
解得

x1=6+4 2 y1=4+4 2

和

x2=6-4 2 y2=4-4 2

所以弦长|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=16=16

点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．