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【题目】已知函数.

(1)讨论函数的零点个数;

(2)求证:.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析:(1)对函数求导,研究函数的单调性,进而得到函数的变化趋势,结合图像得到函数的零点个数;(2)不等式可化为,证得即可.

详解:(1)由题,,所以当时,上单调递增,当时,上单调递减,∴有极大值.

且当时,时,,所以,当时,恰有一个零点;时,有两个零点;时,没有零点.

(2)由(1)可知,.①当时,不等式可化为,记,得.

,则

上单调递增,又上图象是不间断的,

∴存在唯一的实数,使得,∴当时,上递减,当时,上递增,

∴当时,有极小值,即为最小值,

,所以,所以.

,∴,∴

所以,,即.

②当时,设,则

上单调递减,∴

所以

综上所述,.

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