Question

令p（x）：ax²+2x+1＞0，若对?x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是

a＞1

．

Answer 1

分析：首先把命题恒成立转化为不等式恒成立问题，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，当a=0时为一次不等式，当a≠0为二次不等式，二次不等式恒成立时，结合不等式对应函数的图象的开口方向和与x轴没交点得出不等式组，最后求解．

解答：解：对?x∈R，p（x）是真命题，是对?x∈R，ax²+2x+1＞0恒成立，
当a=0时，ax²+2x+1＞0化为2x+1＞0，解得，x＞-

1

2

，不等式不是对?x∈R恒成立；
若a≠0，由题意，得

a＞0 22-4a＜0

解得a＞1．
所以?x∈R，ax²+2x+1＞0恒成立的a的范围是a＞1，
即若对?x∈R，p（x）是真命题，则实数a的取值范围是a＞1．
故答案为a＞1．

点评：分类讨论思想是重要的数学思想，特别是解决含有未知量的恒成立问题，分类讨论尤为重要．