【题目】如图，长方体
的底面
是正方形，点
在棱
上，
.
（1）证明：
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据长方体性质可知
平面
，从而
，由题意
，即可由线面垂直的判定定理证明
平面
；
（2）由题意
，设
，建立空间直角坐标系，即可写出各个点的坐标，求得平面
和平面
的法向量，即可由两个平面的法向量求得二面角
夹角的余弦值，再由同角三角函数关系式即可求得二面角的正弦值.
（1）由已知得，平面，
平面，
故.
又，且
，
所以平面.
（2）由（1）知
.由题设知
，所以
，
故
，. 设，以
为坐标原点，
的方向为
轴正方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
：
则
，
，
，
，
，
，
.
设平面的法向量为
，则
即
.
所以可取
.
设平面的法向量为
，则
即
所以可取
.
于是
.
由同角三角函数关系式可得二面角的正弦值为
.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:
月收入(单位百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(Ⅰ)由以上统计数据填下面2×2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;
月收入低于55百元的人数 | 月收入不低于55百元的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若采用分层抽样在月收入在[15,25),[25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在[15,25)的概率.
参考公式:K2
,其中n=a+b+c+d.
参考数据:
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:
（i）老年人的人数多于中年人的人数;
（ii）中年人的人数多于青年人的人数;
（iii）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.
①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.
②抽取的总人数的最小值为__________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知点
在椭圆
上，过点作
轴于点
（1）求线段
的中点的轨迹
的方程
（2）设
、
两点在（1）中轨迹上，点
，两直线
与
的斜率之积为
，且（1）中轨迹上存在点
满足
，当
面积最小时，求直线
的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．
（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（2）若不等式mx-ex≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．
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