Question

2．若函数f（x）=x（x-c）²在x=1处有极小值，则常数c的值为1．

Answer 1

分析 求导数可得f′（x）=（x-c）（3x-c），令其为0，分类讨论可得函数取极小值的情形，比较已知可得c的方程，解之可得．

解答 解：展开可得f（x）=x（x-c）²=x³-2cx²+c²x，
求导数可得f′（x）=3x²-4cx+c²=（x-c）（3x-c）
令f′（x）=（x-c）（3x-c）=0可得x=c，或x=$\frac{c}{3}$，
当c=0时，函数无极值，不合题意，
当c＞0时，可得函数在（-∞，$\frac{c}{3}$）单调递增，在（$\frac{c}{3}$，c）单调递减，在（c，+∞）单调递增，
故函数在x=c处取到极小值，故c=1，符合题意；
当c＜0时，可得函数在（-∞，c）单调递增，在（c，$\frac{c}{3}$）单调递减，在（$\frac{c}{3}$，+∞）单调递增，
故函数在x=$\frac{c}{3}$处取到极小值，故c=3，矛盾，
故答案为：1．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，涉及分类讨论的思想，属中档题．