Question

如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=

2

，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，则BC与平面A′CD所成的角的正弦值为

3

3

．

Answer 1

分析：先证明BA′⊥平面A′CD，可得∠BCA′为BC与平面A′CD所成的角，即可求出BC与平面A′CD所成的角的正弦值．

解答：解：∵A′B=A′D=1，BD=

2

，∴A′B²+A′D²=BD²
∴BA′⊥A′D
∵平面A'BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A'BD∩平面BCD=BD
∴CD⊥平面A'BD
∵BA′?平面A'BD
∴BA′⊥CD
∵A′D∩CD=D
∴BA′⊥平面A′CD
∴∠BCA′为BC与平面A′CD所成的角
∵CD=1，BD=

2

，
∴BC=

3

∴BC与平面A′CD所成的角的正弦值为

1

3

=

3

3

故答案为：

3

3

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质及线面垂直的判定与性质，其中利用面面垂直的性质定理，确定BA′⊥平面A′CD是解答本题的关键．