Question

7．设曲线y=2016xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，2016）处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，令a_n=log₂₀₁₆x_n，则a₁+a₂+…+a₂₀₁₅的值为（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 由题意可得切点P（1，2016），f′（x）=2016（n+1）xⁿ，根据导数的几何意义可求切线的斜率k，进而可求切线方程，切线方程，在方程中，令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₅=$\frac{1}{2016}$，代入可求出答案．

解答 解：由题意可得切点P（1，2016），
对函数f（x）=2016xⁿ⁺¹求导可得，f′（x）=2016（n+1）xⁿ，
∴y=f（x）在点P处的切线斜率k=f′（1）=2016（n+1），
切线方程为y-2016=2016（n+1）（x-1），
令y=0可得，x_n=$\frac{n}{n+1}$，
∴x₁x₂…x₂₀₁₅=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{2015}{2016}$=$\frac{1}{2016}$，
∴a₁+a₂+…+a₂₀₁₅=log₂₀₁₆x₁+log₂₀₁₆x₂+…+log₂₀₁₆x₂₀₁₅
=log₂₀₁₆（x₁x₂…x₂₀₁₅）
=log₂₀₁₆ 2016^-1=-1．
故选D．

点评 本题主要考查了导数的几何意义的应用，累乘及对数的运算性质的综合应用，还考查了基本运算的能力．属于中档题．