Question

已知正项数列的前项和为，是与的等比中项.
（Ⅰ）若，且，求数列的通项公式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求数列的前项和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）已知正项数列的前项和为，是与的等比中项，若，且，求数列的通项公式，此题关键是求，要求利用是与的等比中项，得，当时，，求得，从而得，再由，得，这样得数列是以2为公比的等比数列，从而得数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，只需求出数列的通项公式，由前面可知，可利用来求，求得，得，这是一个等比数列与一个等差数列对应项积所组成的数列，求它的和可用错为相减法来求．
试题解析：（Ⅰ），即 ，当时，，∴，当时，，∴，即 ，
∵  ∴ ,∴数列是等差数列，由得，∴数列是以2为公比的等比数列，∴ ，∴
（Ⅱ） ，   ∴  ①，
两边同乘以得 ②，
①-②得
 ．