Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上且过点P(

3

，

1

2

)，离心率是

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若|EA|=2|EB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用所给条件列出方程组，解出即可；
（2）易判断直线l不存在斜率时不合题意，当直线存在斜率时，设直线l的方程为y=k（x+1），与椭圆方程联立方程组消掉y得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|EA|=2|EB|可得关于x₁，x₂的方程，连同韦达定理联立方程组即可求得k值；

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由已知可得

c a = 3 2 3 a2 + 1 4b2 =1 a2=b2+c2.

，解得a²=4，b²=1．
故椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，
此时A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)，显然|EA|=2|EB|不成立．
②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．
则

x2 4 +y2=1 y=k(x+1).

，整理得（4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0．
由△=（8k²）²-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
故x1+x2=-

8k2

4k2+1

，①x1x2=

4k2-4

4k2+1

． ②
因为|EA|=2|EB|，所以

EA

=-2

EB

，则x₁+2x₂=-3．③
①②③联立解得k=±

15

6

．            
所以直线l的方程为

15

x+6y+

15

=0和

15

x-6y+

15

=0．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，有一定综合性．