Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0．设?（x）=sin²x+mcosx-2m，集合M={m|对任意的x∈[0，

π

2

]，?(x)＜0}，集合N={m|对任意的x∈[0，

π

2

]，f(?(x))＜0}，则M∩N为

（4-2

2

，+∞）

．（注：m取值范围构成集合．）

Answer 1

分析：由题意，f（x）＜0，f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，由φ（x）＜-1问题转化?x∈[0，

π

2

]，sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立，通过令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0在t∈[0，1]上恒成立，求得m的范围，然后求出M∩N．

解答：解：由题意，f（x）＜0等价于x＜-1或0＜x＜1，…2分
于是f（φ（x））＜0等价于φ（x）＜-1或0＜φ（x）＜1，…2分
从而M∩N={m|?x∈[0，

π

2

]，φ（x）＜-1}…2分
由φ（x）＜-1，问题转化为：?x∈[0，

π

2

]sin²x+mcosx-2m＜-1恒成立．…2分
令t=cosθ，0≤t≤1，问题转化为：t²-mt+2m-2＞0，即m在t∈[0，1]上恒成立
可得m＞

2-t2

2-t

，求出

2-t2

2-t

在∈[0，1]上的最大值，2＞2-t＞1，

2-t2

2-t

=

-(2-t)2+4(2-t)-2

2-t

=-（2-t）-

2

2-t

+4=-[（2-t）+

2

2-t

]+4≤-2

2

+4
（当t=2-

2

时等号成立）
∴m＞4-2

2

，即M∩N=（4-2

2

，+∞）…4分

点评：本题考查函数的单调性，转化思想的应用，交集的计算，考查计算能力，是一道中档题；