Question

已知二次函数f（x）=x²-ax+3，x∈[1，3]．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，试求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若函数y=f（x）在区间[1，3]上单调递增，则区间[1，3]完全在对称轴的右侧，由此构造关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围；
（2）解法1：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，则a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．构造函数g(x)=x+

2

x

，求出其最小值，进而即可得到a的取值范围．解法2：若不等式f（x）＞1在x∈[1，3]上恒成立，我们分区间[1，3]完全在对称轴左侧，右侧和在对称轴两侧三种情况进行分析讨论，最后综合讨论结果即可得到答案．

解答：解：（1）由于f(x)=(x-

a

2

)2+3-

a2

4

，（1）由题意可得

a

2

≤1⇒a≤2．
（2）解法1：由题意得x²-ax+2＞0在x∈[1，3]上恒成立，即a＜

x2+2

x

=x+

2

x

在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)=x+

2

x

，由其图象可知g（x）在x∈[1，3]上的最小值为2

2

（当x=

2

时取到），故a＜2

2

．
解法2：(x-

a

2

)2+2-

a2

4

＞0在x∈[1，3]上恒成立，
当

a

2

≤1时，f（1）=3-a＞0⇒a≤2；
当1＜

a

2

≤3时，2-

a2

4

＞0⇒2＜a＜2

2

；
当

a

2

＞3时，f（3）=11-3a＞0，此时无解，综上可得a＜2

2

．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，在遇到二次函数的参数问题题分析区间与对称轴的关系，并进行分类讨论，是解答此类问题的关键．