Question

已知A，B，C均在椭圆M：

x2

a2

+y2=1(a＞1)上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当

AC

•

F1F2

=0时，有9

AF1

•

AF2

=

AF1

2．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据

AC

•

F1F2

=0判断出

AC

⊥

F1F2

可知△AF₁F₂为直角三角形，进而可知|

AF1

|cos∠F1AF2=|

AF2

|进而根据9

AF1

•

AF2

=

AF1

2．求得|

AF1

|=3|

AF2

|，进而根据椭圆的定义联立求得|

AF1

|和|

AF2

 |根据勾股定理建立等式求得a，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据题意通过E坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简

PE

•

PF

的表达式，利用P是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为

AC

•

F1F2

=0，所以有

AC

⊥

F1F2

所以△AF₁F₂为直角三角形；
∴|

AF1

|cos∠F1AF2=|

AF2

|
则有9

AF1

•

AF2

=9|

AF1

||

AF2

|cos∠F1AF2=9|

AF2

|2=

AF1

2=|

AF1

|2
所以，|

AF1

|=3|

AF2

|
又|

AF1

|+|

AF2

|=2a，
∴|

AF1

|=

3a

2

，|

AF2

|=

a

2

在△AF₁F₂中有|

AF1

|2=|

AF2

|2+|

F1F 2

|2
即(

3a

2

)2=(

a

2

)2+4(a2-1)，解得a²=2
所求椭圆M方程为

x2

2

+y2=1

（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x₀，y₀），则F（-x₀，4-y₀）有x02+(y0-2)2=1，
∴

PE

•

PF

=x²-x₀²+4y₀-4y-y₀²+y²=x²+2y²-（x₀²+（y₀-2）²）-y²+4-4y=-（y+2）²+9
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，

PE

•

PF

的最大值为8．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．