Question

10．求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹．

Answer 1

分析 设点M（x，y）是曲线上的任意一点，欲求出动点M的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合距离的比，用坐标来表示距离，利用两点间的距离公式化简即可求得点P的轨迹方程．

解答 解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（-a，0），B（a，0）．设M（x，y）是轨迹上任意一点．
则由题设，得$\frac{|MA|}{|MB|}$=λ，坐标代入，得$\frac{\sqrt{（x+a）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}}$=λ，
化简得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x+（1-λ²）a²=0
（1）当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线（y轴）．
（2）当λ≠1且λ≠0时，点M的轨迹方程是x²+y²+$\frac{2a（1+{λ}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$x+a²=0，点M的轨迹是以（-$\frac{a（1+{λ}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$，0）为圆心，$\frac{2aλ}{|1-{λ}^{2}|}$为半径的圆．

点评 本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．