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8.在平面直角坐标系xOy中,钝角α+$\frac{π}{4}$的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合.若α+$\frac{π}{4}$的终边与单位元圆交于点$({-\frac{3}{5},t})$.
(1)求t的值;
(2)求cosα和sinα的值;
(3)设$f(x)=cos({\frac{πx}{2}+α})$,求f(1)+f(2)+…+f(2015)的值.

分析 (1)根据题意和三角函数的定义求出cos(α+$\frac{π}{4}$)的值,再由平方关系求出t的值;
(2)根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组,求出cosα和sinα的值;
(3)根据三角函数的周期公式求出f(x)的周期,再求出一个周期内的函数值,利用函数的周期性求出式子的值.

解答 解:(1)∵钝角α+$\frac{π}{4}$的终边与单位元圆交于点$({-\frac{3}{5},t})$,
∴根据三角函数的定义,cos(α+$\frac{π}{4}$)=$-\frac{3}{5}$,
∴t=sin(α+$\frac{π}{4}$)=$\sqrt{1-co{s}^{2}(α+\frac{π}{4})}$=$\frac{4}{5}$;
(2)由sin(α+$\frac{π}{4}$)=$\frac{4}{5}$、cos(α+$\frac{π}{4}$)=$-\frac{3}{5}$得,
$\frac{\sqrt{2}}{2}$(sinα+cosα)=$\frac{4}{5}$,①
$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosα-sinα)=$-\frac{3}{5}$,②
由①②解得,cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$,sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$;
(3)∵f(x)=cos($\frac{πx}{2}$+α),∴函数f(x)的周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4,
∴f(1)=cos($\frac{π}{2}$+α)=-sinα=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$,f(2)=cos(π+α)=-cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$,
f(3)=cos($\frac{3}{2}$π+α)=sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$,f(4)=cos(2π+α)=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$,
f(5)=cos($\frac{5π}{2}$+α)=-sinα,…,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0;
∴f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)
=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$.

点评 本题考查三角函数的定义,同角三角函数的基本关系,两角和的正弦、余弦公式,以及三角函数的周期性,属于中档题.

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