Question

8．在平面直角坐标系xOy中，钝角α+$\frac{π}{4}$的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若α+$\frac{π}{4}$的终边与单位元圆交于点$（{-\frac{3}{5}，t}）$．
（1）求t的值；
（2）求cosα和sinα的值；
（3）设$f（x）=cos（{\frac{πx}{2}+α}）$，求f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和三角函数的定义求出cos（α+$\frac{π}{4}$）的值，再由平方关系求出t的值；
（2）根据两角和的正弦、余弦公式列出方程组，求出cosα和sinα的值；
（3）根据三角函数的周期公式求出f（x）的周期，再求出一个周期内的函数值，利用函数的周期性求出式子的值．

解答 解：（1）∵钝角α+$\frac{π}{4}$的终边与单位元圆交于点$（{-\frac{3}{5}，t}）$，
∴根据三角函数的定义，cos（α+$\frac{π}{4}$）=$-\frac{3}{5}$，
∴t=sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{4}{5}$；
（2）由sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$、cos（α+$\frac{π}{4}$）=$-\frac{3}{5}$得，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=$\frac{4}{5}$，①
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα-sinα）=$-\frac{3}{5}$，②
由①②解得，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$；
（3）∵f（x）=cos（$\frac{πx}{2}$+α），∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，
∴f（1）=cos（$\frac{π}{2}$+α）=-sinα=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，f（2）=cos（π+α）=-cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
f（3）=cos（$\frac{3}{2}$π+α）=sinα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，f（4）=cos（2π+α）=cosα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
f（5）=cos（$\frac{5π}{2}$+α）=-sinα，…，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）
=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-$\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦、余弦公式，以及三角函数的周期性，属于中档题．