Question

(本小题满分13分) 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

	甲	乙	丙
维生素A（单位/kg）	60	70	40
维生素B（单位/kg）	80	40	50
成本（元/kg）	11	9	4

    现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B.

（Ⅰ）若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多少元?

（Ⅱ）分别用甲、乙、丙三种食物各多少kg，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？

Answer 1

（1）92（2）见解析

解析:

（Ⅰ）依题意得，即.         （2分）

由此解得x＝6，y＝z＝2.                                             （4分）

故混合食物的成本为6×11＋2×9＋2×4＝92(元).                         （5分）

（II）解法一：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则

，即.                               （7分）

且.                                            （8分）

作可行域，如图.                                                              （10分）

 

由，得点A(5，2).

平移直线7x＋5y＝0，由图知，当直线经过点A时，它在y轴上的截距为最大，所以点A为最优解，此时(元).                       （12分）

故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元.                                                         （13分）

解法二：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则

，即.                                 （7分）

且.                                 （8分）

因为，所以.  （10分）

当且仅当，即时等号成立，所以p的最小值为45.        （12分）

故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元.                                                                （13分）