Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由题意，得

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2.

由此能够得到椭圆C的方程．
（2）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），由

x2 8 + y2 4 =1 y=x+m.

消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，再由根的判断式结合题设条件能够得到m的值．

解答：解：（1）由题意，得

c a = 2 2 c=2 a2=b2+c2.

解得

a=2 2 b=2.

∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），线段AB的中点为M（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=x+m.

消y得，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=96-8m²＞0，∴-2

3

＜m＜2

3

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2m

3

，
y0=x0+m=

m

3

．
∵点M（x₀，y₀）在圆x²+y²=1上，∴(-

2m

3

)2+(

m

3

)2=1，∴m=±

3 5

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．