Question

已知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，求正整数a的最小值．

Answer 1

考点：整除的基本性质

专题：计算题

分析：利用二项式定理展开，并对n讨论即可得出．

解答： 解：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a=12ⁿ+5n-a=（10+2）ⁿ+5n-a=10ⁿ+

∁

1 n

10n-1×2+…+

∁

n-2 n

10²×2^n-2+

∁

n-1 n

×10×2n-1+2ⁿ+5n-a
=25M+5n（2ⁿ+1）-a，（M为整数）．
当n=1时，2³×3¹+5-a=29-a，此时a=29-25k（k∈Z），k=1时，a=4．
当n≥2时，若2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-a能被25整除，则5n（2ⁿ+1）-a必须能够被25整除．
设5n（2ⁿ+1）-a=25k，则a=5n（2ⁿ+1）-25k．当n=2时，a=25×2-25k，k=1时，a=25．
综上可得：正整数a的最小值是4．

点评：本题考查了二项式定理的应用、整除的理论、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．