Question

已知a₁=1，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）证明：数列{lg（a_n+2）}是等比数列；
（2）设数列{a_n+2}的前n项积为T_n，求T_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）已知b_n是

1

an+1

与

1

an+3

的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：

3

8

≤Sn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）点（a_n，a_n+1）代入函数关系式整理可得a_n+1+2=（a_n+2）²，两边取对数求得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
判断出{lg（a_n+2）}是等比数列．
（2）根据数列{lg（a_n+2）}的通项公式求得a_n，进而利用等比数列的求和公式求得lgT_n，进而求得T_n．
（3）根据题意知bn=

1

2

(

1

an+1

+

1

an+3

)整理求得S_n=

1

2

-

1

32n-1

，进而可判断出S_n≥S₁同时利用

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

进而证明原式．

解答：（1）证明：由已知a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=（a_n+2）²
∵a₁=1?a_n+2＞1，两边取对数，得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
∴{lg（a_n+2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a₁+2）=lg3
（2）解：由（1）得lg(an+2)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an=32n-1-2，
∵lgT_n=lg[（a₁+2）（a₂+2）（a_n+2）]=lg（a₁+2）+lg（a₂+2）+…+lg（a_n+2）=

(2n-1)lg3

2-1

=lg32n-1
∴Tn=32n-1
（3）解：
∵bn=

1

2

(

1

an+1

+

1

an+3

)=

1

2

(

1

32n-1-1

+

1

32n-1+1

)=

32n-1

32n-1

=

1

32n-1-1

-

1

32n-1

=

1

an+1

-

1

an+1+1

S_n=

1

a1+1

-

1

an+1+1

=

1

2

-

1

32n-1

，
显然b_n＞0，
∴Sn≥S1=

3

8

，
又Sn=

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

，
∴

3

8

≤Sn＜

1

2

．

点评：本题主要考查了等比数列的性质，不等式的应用，数列的求和等问题．考查了学生推理能力和运算能力．