Question

已知函数f（x）=x³-3ax，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求证：直线4x+y+m=0不可能是函数f（x）图象的切线．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，导函数大于0时可求原函数的增区间，导函数小于0时可求原函数的减区间．
（2）将a=1代入函数确定解析式，然后对函数f（x）进行求导，可发现导函数不可能等于-4从而得证．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
当a≤0时，f′（x）=3x²-3a≥0对x∈R恒成立，
∴f（x）的递增区间为（-∞，+∞）．
当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

．
此时，f（x）的递增区间是（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；
递减区间是（-

a

，

a

）．
（2）证明：∵a=1，∴f′（x）=3x²-3．
直线4x+y+m=0的斜率为-4，假设f′（x）=-4，即3x²+1=0．
此方程无实根，∴直线4x+y+m=0不可能是函数f（x）图象的切线．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．