Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（I）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成的角；
（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为1，若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：以A人坐标原点，AB，AD，AP分别为X，Y，Z轴的正方向，建立空间坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）
∴=（-1，0，0），=（0，2，0），=（0，0，1），=（0，1，），=（1，2，-1）
证明：（I）∵•=0，•=0
∴CD⊥AD，CD⊥AP
又∵AD∩AP=A
∴CD⊥平面PAD，
又∵CD?平面PDC
∴平面PDC⊥平面PAD
（II）cos＜，＞==
∴异面直线AE与PC所成的角为arccos
（III）假设BC边上存在一点G满足题设条件，令BG=x，
则G（1，x，0），作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAC，即DQ=1，
∵2S_△ADC=S_矩形ABCD
∴
∴=2，又∵=
是x=＜2
故线段BC上是否存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为1
分析：（I）以A人坐标原点，AB，AD，AP分别为X，Y，Z轴的正方向，建立空间坐标系，分别求出直线CD，AD，AP的方向向量，代入向量数量积公式，可得CD与AD及AP均垂直，结合线面垂直的判定定理，可得CD⊥平面PAD，进而根据面面垂直的判定定理，得到平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求出异面直线AE与PC的向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AE与PC所成的角；
（Ⅲ）设BG=x，我们则求出G点坐标，作DQ⊥AG，易得DQ⊥平面PAG，即DQ=1，由此构造关于x的方程，解方程即可得到x的值，进而求出BG的值．
点评：本题考查的知识点是点到平面的距离，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间中直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题，是解答本题的关键．