Question

已知函数f（x）=a^x+log_ax，（a＞0，且a≠1）的定义域为[1，2]．
（1）若[f（x）]_min=5，求实数a的值；
（2）若f（a）=5，求实数a的值；
（3）是否存在实数a，使得f（x）＜a²恒成立？若存在求出a的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分类讨论a＞1以及0＜a＜1时的最小值，进而得到实数a的值；
（2）由f（a）=5，构造关于a的方程，进而根据函数的单调性，解方程求出实数a的值；
（3）根据（1）中所得函数的单调性，分别构造关于a的不等式，解不等式后，综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，
[f（x）]_min=f（2）=a²+log_a2＜a²＜1，不符合要求
当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
[f（x）]_min=f（1）=a+log_a1=a=5；
∴a=5．…．（3分）
（2）由f（a）=5，得a^a+log_aa=5，即a^a=4，
两边取以2为底的对数得alog₂a=2
即log₂a=

2

a

，
令g（x）=log₂x-

2

x

，则g（x）在[0，+∞）上单调递增，
所以g（x）至多有一个零点，又g（2）=0，
所以a=2．…．（6分）
（3）若f（x）＜a²恒成立
则f（x）_max＜a²，…．（7分）
当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，
f（x）_max=f（1）=a+log_a1=a＜a²，
解得a＞1或a＜0，满足要求的a不存在；…．（8分）
当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
f（x）_max=f（2）=a²+log_a2＜a²
即log_a2＜0
解得0＜a＜1，满足要求的a不存在；…．（9分）
综上：满足要求的a不存在．…．（10分）

点评：本题主要考查对数函数的值域问题．解决对数函数的题目时，一定要讨论其底数和1的大小关系，避免出错．